Question

16．在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在CD上（與點(diǎn)C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）求證；PQ=AD；
（3）判斷AH與PH的關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）根據(jù)平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，即△ADP≌△BCQ，即可得到DP=CQ，證明CD=PQ，由四邊形ABCD為正方形，所以AD=CD，即可得到PQ=AD．
（3）AH=PH，AH⊥PH，連接CH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

（2）∵平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，
∴△ADP≌△BCQ，
∴DP=CQ，
∵DP+PC=DC，CQ+PC=PQ
∴CD=PQ，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，
∴PQ=AD．
（3）AH=PH，AH⊥PH，如圖2，連接CH，

∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△HDP與△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=QH}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．
∵BD是正方形ABCD的對(duì)稱軸，
∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°，
∴AH=PH，AH⊥PH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、圖形平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中，解決本題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理．