Question

5．正方形ABCD的一邊AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，過(guò)點(diǎn)D作這個(gè)半圓的切線交BC于點(diǎn)F，E為切點(diǎn)，BF=1，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，先判斷AD和CB為半圓O的切線，則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CE=FB=1，DE=DA=a，所以CF=CB-BF=a-1，DF=EF+DE=a+1，然后在Rt△CDF中根據(jù)勾股定理得到（a-1）²+a²=（a+1）²，再解方程即可得到正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∵AB為半圓O的直徑，
而DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD和CB為半圓O的切線，
∵DF為半圓O的切線，
∴CE=FB=1，DE=DA=a，
∴CF=CB-BF=a-1，DF=EF+DE=a+1，
在Rt△CDF中，∵CF²+CD²=DF²，
∴（a-1）²+a²=（a+1）²，解得a₁=0（舍去），a₂=4，
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了正方形的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理．