Question

10．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）若∠BAC=90°，求AE的長(zhǎng)；
（2）若DF=0.7，求證：△ABC為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）連接CE，設(shè)AE=x，則BE=CE=x，利用勾股定理列出x的方程，求出x的值即可；
（2）設(shè)BD=y，則CD=y，用y表示出BF和CF，利用勾股定理列出y的方程，求出y的值，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形．

解答 解：（1）連接CE，
設(shè)AE=x，
∵AB=4，
∴BE=4-x，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴CE=BE=4-x，
∵∠BAC=90°，AC=3，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，即AE=$\frac{7}{8}$．

（2）證明：設(shè)BD=y，則CD=y，
∵DF=0.7，
∴BF=y+0.7，CF=y-0.7，
∵AF⊥BC，
∴AB²-BF²=AC²-CF²=AF²，
∴4²-（y+0.7）²=3²-（y-0.7）²，
∴y=2.5，
∴BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，此題難度不大．