Question

8．如圖，已知 B、C、E三點共線，分別以BC、CE為邊作等邊△ABC和等邊△CDE，連接BD、AE分別與AC、CD 交于M、N，AE與BD的交點為F．
（1）求證：BD=AE；
（2）求∠AFB的度數(shù)；
（3）求證：BM=AN；
（4）連接MN，求證：MN∥BC．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC與三角形DCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACD與三角形BCE全等，利用全等三角形的性質(zhì)即可得證．
（2）由全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可得出結果；
（3）由ASA證明△BCM≌△ACN，得出對應邊相等即可；
（4）由全等三角形的性質(zhì)得出CM=CN，證明△CMN是等邊三角形，得出∠CMN=∠ACB=60°，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=∠CBD+∠BEF=∠CAE+∠BEF=∠ACB=60°；
（3）證明：∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，
∴∠BCM=∠ACN，
在△BCM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCM=∠ACN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴BM=AN；
（4）證明：連接MN，如圖所示：
∵△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠CMN=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CMN=∠ACB，
∴MN∥BC．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．