Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O分別與AC，BC相切于點(diǎn)D，E．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于F，AC=4，BC=2，求OC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)O在AB上，tanA=$\frac{1}{2}$，求sin∠BOC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1連接OD，OE，則四邊形ODCE是正方形，由OD∥BC，得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，列方程求出結(jié)果．
（2）如圖2連接OD，OE，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形ODCE是正方形，設(shè)出⊙O的半徑為r，通過tanA=$\frac{1}{2}$，用r表示出BE=$\frac{1}{2}$r，AD=2r，BC=$\frac{3}{2}$r，AC=3r，根據(jù)三角形的面積公式求出CF，即可求出sin∠BOC的值．

解答 解：（1）如圖1連接OD，OE，
則四邊形ODCE是正方形，
∴OD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴$\frac{4-r}{4}$=$\frac{r}{2}$，
∴r=$\frac{4}{3}$，
∴OC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；

（2）如圖2連接OD，OE，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，
則四邊形ODCE是正方形，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OC=$\sqrt{2}$r，
∵tanA=$\frac{1}{2}$，OE∥AC，
∴tan∠BOE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$r，AD=2r，
∴BC=$\frac{3}{2}$r，AC=3r，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{BC}^{2}{+AC}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵BC•AC=AB•CF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$r，
∴sin∠BOC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例．勾股定理，銳角三角函數(shù)，準(zhǔn)確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．