Question

1．已知：∠A=60°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE交CF于O，求證：OE=OF．

Answer 1

分析 連接OA，由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得出∠OBC+∠OCB=60°，OA平分∠BAC，再由∠A+∠EOF=180°，得出點(diǎn)A、E、O、F四點(diǎn)共圓，得出$\widehat{OE}=\widehat{OF}$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接OA，如圖所示：
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，．
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，OA平分∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，∠EAO=∠FAO=30°，
∴∠EOF=∠BOC=180°-60°=120°，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴點(diǎn)A、E、O、F四點(diǎn)共圓，
∵∠EAO=∠FAO，
∴$\widehat{OE}=\widehat{OF}$，
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證明四點(diǎn)共圓是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．