Question

2．在平面直角坐標系中，已知點A（1，1）、B（4，1）、C（2，3），若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為（-1，3）或（5，3）或（3，-1）．

Answer 1

分析 在平面直角坐標系中描出A、B、C三個點，分AB為邊和AB為對角線分別求出D點坐標，當AB為邊時，過C作CD∥AB，且CD=AB，可求得D點坐標，當AB為對角線時，過B作BD∥AC，

解答 解：
①當AB為四邊形的邊時，過C作CD∥AB，如圖1，

∵A（1，1），B（4，1），
∴AB=3，
∵四邊形為平行四邊形，
∴CD=AB=3，
∵C（2，3），
∴可設(shè)D點坐標為（x，3），
∴|x-2|=3，解得x=5或x=-1，
此時D點坐標為（-1，3）或（5，3）；
②當AB為四邊形的對角線時，過B作BD∥AC，使BD=AC，則D點即為所求，如圖2，
又由①可知在AB上方的點即為（5，3），只需求在AB下方的點即可，
過D作DE⊥AB于點E，過C作CF⊥AB于點F

∵AC∥BC，
∴∠A=∠DBE，
在△ACF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBE}\\{∠AFC=∠DEB}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BDE（AAS），
∴DE=CF，AF=BE，
∵A（1，1），C（2，3），B（4，1），
∴DE=CF=2，AE=4-AF=4-1=3，
∴D點坐標為（3，-1），
綜上可知D點坐標為（-1，3）或（5，3）或（3，-1），
故答案為：（-1，3）或（5，3）或（3，-1）．

點評 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等是解題的關(guān)鍵，利用條件先確定出D點的位置是解題的突破口．