Question

7．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=6，OB=8，OC=10，以B為旋轉中心，將線段BO逆時針旋轉60°得到線段BO′，連接AO′．則下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉60°得到；②連接OO′，則OO′=8；③∠AOB=150°；④${S_{四邊形AOBO'}}=24+12\sqrt{3}$
其中正確的有（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；在△AOO′中，三邊長為6，8，10，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO可對稱④作出判斷．

解答 解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3．
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A和△BOC中$\left\{\begin{array}{l}{OB=O′B}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$．
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到．
故結論①正確；
如圖所示：連接OO′．

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=8．
故結論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=10．
在△AOO′中，三邊長為6，8，10，這是一組勾股數，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結論③正確；
S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×6×8+$\frac{1}{2}$×8×$4\sqrt{3}$=24+16$\sqrt{3}$，故結論④錯誤．
綜上所述，正確的結論為：①②③．
故選：B．

點評 本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數6、10、10所構成的三角形是直角三角形是解題的關鍵．