Question

14．如圖，已知四邊形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過(guò)1秒后，可得BP=CQ=3，則PC=8-3=5，可證明△BPE≌△CQP；
（2）由△BPE與△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP=CP或BP=CQ，或可求得BP的長(zhǎng)，可求得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由CQ=BE或CQ=BP可求得Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，可求得其速度．

解答 解：
（1）全等，理由如下：
當(dāng)運(yùn)動(dòng)1秒后，則BP=CQ=3cm，
∴PC=BC-BP=8cm-3cm=5cm，
∵E為AB中點(diǎn)，且AB=10cm
∴BE=5cm，
∴BE=PC，
在△BPE和△CQP中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=PC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE與△CQP全等，
∴有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，
當(dāng)△BEP≌△CQP時(shí)，
則BP=CP，CQ=BE=5cm，
設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
則3t=8-3t，解得t=$\frac{4}{3}$秒，
∴Q點(diǎn)的速度=5÷$\frac{4}{3}$=$\frac{15}{4}$（cm），
當(dāng)△BEP≌△CPQ時(shí)，
由（1）可知t=1（秒），
∴BP=CQ=3，
∴Q點(diǎn)的速度=3÷1=3（cm），
即當(dāng)Q點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)$\frac{15}{4}$cm或3cm時(shí)△BEP≌△CQP．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL