Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2ax-a交于x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸DE交x軸于點E，DE=2．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P是拋物線對稱軸上的動點，連接CP繞點P順時針旋轉90°，C的對應點為點Q，連接DQ交拋物線于點F，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，如圖3，過點D作DN∥CP交拋物線于點N，交PQ于點M，連接QN，若QN=$\frac{2}{3}$DP，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的頂點坐標的縱坐標為2即可確定出a，得出結論；
（2）設出點P的坐標．根據旋轉的性質得出點Q的坐標，從而確定出直線DQ的解析式，結合拋物線解析式聯(lián)立方程組即可求出點F的坐標；
（3）由（2）得出的直線PC解析式，得出直線DN解析式，結合拋物線解析式，確定出N的坐標，即可判斷出QN∥DP，進而表示出NQ，DP，建立方程求解即可得出點N坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-a，
∴頂點坐標縱坐標為$\frac{-4{a}^{2}-4{a}^{2}}{4a}$=-2a，
∵DE=2，
∴a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+1，
（2）如圖2，

由（1）知，拋物線解析式為y=-x²+2x+1①，
∴拋物線的對稱軸為x=1，D（1，2），C（0，1），
∵點P是拋物線對稱軸上的動點，
∴設點P坐標為（1，t），
∴直線CP解析式為y=（t-1）x+1
過點P作PG⊥OC，過Q作QH⊥DP，
∵CP繞點P順時針旋轉90°，C的對應點為點Q，
∴QH=CG=1-t，PH=PG=1．
∴EH=1+t，
∴Q（2-t，1+t），
∵D（1，2），
∴DQ解析式為y=-x+3②，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴F（2，1）；
（3）由（2）知，直線CP解析式為y=（t-1）x+1，
∵DN∥CP，D（1，2），
∴直線DN的解析式為y=（t-1）x+3-t③，
∵拋物線解析式為y=-x²+2x+1④，
聯(lián)立③④得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$（點D的縱橫坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-{t}^{2}+2t+1}\end{array}\right.$，
∴N（2-t，-t²+2t+1），
由（2）知，Q（2-t，1+t），
∴NQ∥PD，
∴QN=（1+t）-（-t²+2t+1）=t²-t，
∵D（1，2），P（1，t），
∴DP=2-t，
∵QN=$\frac{2}{3}$DP，
∴t²-t=$\frac{2}{3}$（2-t），
∴t=$\frac{4}{3}$（此時連接DQ不能和拋物線相交，所以舍去）或t=-1，
∴N（3，-2）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的頂點坐標，旋轉的性質，拋物線和直線的交點坐標，解方程組，解本題的關鍵是確定出直線DQ的解析式和QN∥DP，是一道中等難點的中考�？碱}．