Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，問所形成的△PEF是否存在最大面積；如果存在請(qǐng)求出，如果不存在說明理由．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；
（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．

解答 （1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF為AD的垂直平分線，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．

（2）解：如答圖2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AH}{AD}$，即 $\frac{EF}{10}=\frac{8-2t}{8}$，解得：EF=10-$\frac{5}{2}$t．
S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（10-$\frac{5}{2}$t）•2t=-$\frac{5}{2}$t²+10t=-$\frac{5}{2}$（t-2）²+10（0＜t＜$\frac{10}{3}$），
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，S_△PEF存在最大值，最大值為10cm²．
（3）解：存在．理由如下：
①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，
此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，
即 $\frac{2t}{8}=\frac{3t}{5}$，
∴t=0（舍），故此種情形不存在；
②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，
此時(shí)PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即 $\frac{2t}{8}=\frac{10-3t}{5}$，解得t=$\frac{40}{17}$；

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示．
過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，
∴$\frac{EM}{AD}=\frac{BM}{BD}$，
即 $\frac{2t}{8}=\frac{BM}{5}$，
解得BM=$\frac{5}{4}$t，
∴PM=BP-BM=3t-$\frac{5}{4}$t=$\frac{7}{4}$t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（ $\frac{7}{4}$t）²=$\frac{113}{16}$t²．
∵FN∥AD，
∴$\frac{FN}{AD}=\frac{CN}{CD}$，
即 $\frac{2t}{8}=\frac{CN}{5}$，
解得CN=$\frac{5}{4}$t，
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-$\frac{5}{4}$t=10-$\frac{17}{4}$t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF²=FN²+PN²=（2t）²+（10-$\frac{17}{4}$t）²=$\frac{353}{16}$t²-85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF²=PE²+PF²，
即：（10-$\frac{5}{2}$t）²=（ $\frac{113}{16}$t²）+（ $\frac{353}{16}$t²-85t+100）
化簡得：$\frac{183}{8}$t²-35t=0，
解得：t=$\frac{280}{183}$或t=0（舍去）
∴t=$\frac{280}{183}$．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{40}{17}$秒或t=$\frac{280}{183}$秒時(shí)，△PEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類型．菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、圖形面積及二次函數(shù)的極值，勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．