Question

5．已知等邊△ABC，E為平面內(nèi)任意點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AD，連接BD，CE．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在等邊△ABC內(nèi)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形；
（2）連接（1）中的DE，得到△ADE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中設(shè)動直線BD、CE交于點(diǎn)P，∠BPC的度數(shù)是否會發(fā)生改變？為什么？
（3）當(dāng)AB=4，AE=2，請直接寫出AE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，動點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為$\frac{8\sqrt{3}}{9}$π．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖1，
（2）先判斷出△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，最后用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得出點(diǎn)P是等邊三角形ABC的外接圓上的一段弧，進(jìn)而判斷出弧所對的圓心角和半徑即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示；
（2）如圖2，

∠BPC的度數(shù)不發(fā)生變化，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABD-∠ABC-∠ACB+∠ACE=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
（3）如圖3，

由（2）知，∠BPC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴點(diǎn)P是等邊三角形ABC的外接圓上的一段�。�$\widehat{P'AP''}$）
當(dāng)點(diǎn)D落在邊AC上時(shí)，
∵AC=4，AD=2，
∴BP'⊥AC，
當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時(shí)，
∵AE=2，AB=4，
∴BP''⊥AB，
∴△ABC的外接圓的圓心就是BP'與BP''的交點(diǎn)，
∴∠P'OP''=120°，
在Rt△OCF中，CF=AC-AE=2，∠OCF=30°，cos∠OCF=$\frac{CF}{OC}$，
∴OC=$\frac{CF}{cos∠OCF}$=$\frac{2}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴動點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為$\frac{120°×π×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}π$，
故答案為$\frac{8\sqrt{3}}{9}$π．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，四點(diǎn)共圓，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△BAD≌△CAE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，是一道中等難度的中考�？碱}．