Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-（2m-1）x+m²-3m+4．
（1）探求m取不同值時，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點個數(shù)．
（2）設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A（x₁，0），（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）解方程x²-（2m-1）x+m²-3m+4=0，根據(jù)b²-4ac＞0，方程有2個根，b²-4ac=0，方程有一個根，b²-4ac＜0，方程沒有根即可解題；
（2）根據(jù)韋達定理可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，根據(jù)x₁²+x₂²=5，即可求得m的值，即可求得點C和點M坐標，即可解題．

解答：解：（1）當y=0時，可得方程x²-（2m-1）x+m²-3m+4=0，
b²-4ac=（2m-1）²-4（m²-3m+4）=8m-15，
當8m-15＞0時，即m＞

15

8

時，方程有2個根，故二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點個數(shù)為2，
當8m-15=0時，即m=

15

8

時，方程有1個根，故二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點個數(shù)為1，
當8m-15＜0時，即m＜

15

8

時，方程有0個根，故二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點個數(shù)為0；
（2）∵x₁+x₂=-

b

a

=2m-1，x₁x₂=

c

a

=m²-3m+4，
∴x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x₁x₂=4m²-4m+1-2（m²-3m+4）=5，
化簡得：m²+m-6=0，解得：m=-3或2，
∵m＞

15

8

，
∴m=2，
∴拋物線解析式為y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，
∴頂點坐標為（

3

2

，-

1

4

），
∵x=0時，y=2，
∴點C坐標（0，2），
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，
代入C，M點得：y=-

3

2

x+2．

點評：本題考查了一元二次方程的求解，考查了韋達定理的運用，考查了拋物線與y軸交點的求解，考查了拋物線頂點的求解，本題中求得m的值是解題的關(guān)鍵．