Question

7．已知，如圖，四邊形ABCD和四邊形ECGF都是正方形，連接BE、AF，求證：∠EHF=45°．

Answer 1

分析 連接AC、CF，如圖，先利用正方形的性質(zhì)得∠DAC=∠ACB=∠ACE=∠ECF=45°，AC=$\sqrt{2}$BC，CF=$\sqrt{2}$CE，則∠ACF=90°，于是可根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△BCE∽△ACF，所以∠EBC=∠FAC=45°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠AHB=∠ACB=45°，所以∠EHF=45°．

解答 證明：連接AC、CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形ECGF都是正方形，
∴∠DAC=∠ACB=∠ACE=∠ECF=45°，AC=$\sqrt{2}$BC，CF=$\sqrt{2}$CE，
∴∠ACF=∠ACE+∠ECF=90°，
∵$\frac{AC}{CB}$=$\sqrt{2}$，$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CB}$=$\frac{CF}{CE}$，
而∠BCE=∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，
∴∠EBC=∠FAC=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠AHB=∠ACB=45°，
∴∠EHF=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ACF與△BCE相似．