Question

18．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取AB邊上的中點(diǎn)E，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，連按CF，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CF于點(diǎn)G，連接BG，則BG=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理和三角形的面積求出AF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，再利用相似三角形得出的比例式求出FM=$\frac{8}{5}$，AM=$\frac{4}{5}$，由線段的和差求出FP，F(xiàn)N，再用勾股定理得出FC，從而判斷出DG=FP=$\frac{16}{5}$．進(jìn)而用勾股定理得出CG，再用比例式得出GQ，CQ，最后用勾股定理即可．

解答 解：過(guò)點(diǎn)F作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，F(xiàn)P⊥CD于P，GQ⊥BC于Q，
∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
根據(jù)勾股定理得，ED=2$\sqrt{5}$，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE×AF=$\frac{1}{2}$AD×AE，
∴AF=$\frac{AD×AE}{ED}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∵AF⊥DE，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∵∠EAF+∠DAF=90°，
∴∠AEF=∠DAF，
∵∠AMF=∠EAD，
∴△FAM∽△DEA，
∴$\frac{FM}{AF}=\frac{AD}{ED}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{AM}{FM}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$
∴FM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$AF=$\frac{8}{5}$，
AM=$\frac{1}{2}$FM=$\frac{4}{5}$，
∴FP=MD=AD-AM=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
FN=MN-MF=AB-MF=4-$\frac{8}{5}$=$\frac{12}{5}$，
根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)C=$\sqrt{F{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{F{N}^{2}+F{P}^{2}}$=4，
∵FP•CD=DG•FC，
∴DG=FP=$\frac{16}{5}$，
根據(jù)勾股定理得，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∵GQ∥FN，
∴$\frac{GQ}{FN}=\frac{CG}{CF}=\frac{3}{5}$，
∴GQ=$\frac{3}{5}$FN=$\frac{36}{25}$，CQ=$\frac{3}{5}$CN=$\frac{48}{25}$，
∴BQ=BC-CQ=$\frac{52}{25}$，
根據(jù)勾股定理，得BG=$\sqrt{B{Q}^{2}+G{Q}^{2}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$，
故答案為：$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是用勾股定理求出ED，F(xiàn)C，CG，BG，難點(diǎn)是作出輔助線，是一道比較難的中考�？碱}．