Question

5．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)P是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BP，過點(diǎn)B作BQ⊥BP，且使BP=BQ，連結(jié)AQ且與直線BC相交于點(diǎn)D．若AP=2，AC=5，則BD的長為4或6．

Answer 1

分析 ①當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，先判斷出△ABP≌△A'BQ得出A'Q=AP=2，再判斷出A'Q∥BC，利用三角形的中位線即可求出CD，即可；
②當(dāng)點(diǎn)P在邊CA的延長線上時(shí)，同①方法即可．

解答 解：①當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，如圖1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
延長AC至A'使A'C=AC，連接A'B，
∵∠ACB=90°，
∴AB=A'B=5，
∴∠BAC=∠BA'C=45°，∠ABC=∠A'BC=45°，
∴∠AB'A=90°，
∴∠ABP+∠A'BP=90°，
∵BQ⊥BP，
∴∠A'BQ+∠A'BP=90°，
∴∠ABP=∠A'BQ，
在△ABP和△A'BQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=A'B}\\{∠ABP=∠A'BQ}\\{BP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△A'BQ，
∴A'Q=AP=2，∠BA'Q=∠BQC=45°，
∴∠AA'Q=∠BA'C+∠BA'Q=90°=∠ACB，
∴BC∥A'Q，
∵AC=A'C，
∴CD=$\frac{1}{2}$A'Q=1
，∵BC=AC=5，
∴BD=4，
②當(dāng)點(diǎn)P在邊CA的延長線時(shí)，如圖2，

同①方法，得，CD=1，
∴BD=BC+CD=6，
即：BD的長為4或6，
故答案為：4或6．

點(diǎn)評(píng) 此題是全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．