Question

10．（一）問題：你能比較兩個(gè)數(shù)2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小嗎？
為解決這個(gè)問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n為自然數(shù)），然后從簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納猜想出結(jié)論．
（1）通過計(jì)算，比較下列各組數(shù)的大�。�
①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6⁵…
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）
（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大�。�
①2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰；②-2010²⁰¹¹＜-2011²⁰¹⁰
（二）請(qǐng)比較大�。�
$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$＞$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$（直接寫出猜想結(jié)果不必簡述理由）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行比較即可；
（2）根據(jù)上述得出的答案解答即可；
（3）①根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可，②根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以-1，不等號(hào)方向不變；
（4）分別通分后，比較分子的大小即可．

解答 解：（1）①1²=1，2¹=2，則1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，則2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，則3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，則4⁵＞5⁴；
⑤5⁶=15625，6⁵=7776，則5⁶＞6⁵；
故答案為：＜，＜，＞，＞，＞；
（2）從上面的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是：
當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案為：＞；
（3）①∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
②-2010²⁰¹¹＜-2011²⁰¹⁰，
故答案為：＞，＜；
（4）∵$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$=$\frac{（{2}^{2011}+1）（{2}^{2013}+1）}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$=$\frac{{2}^{4024}+{2}^{2011}+{2}^{2013}+1}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$，
$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$=$\frac{（{2}^{2012}+1）^{2}}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$，
∵（2²⁰¹²+1）²=2⁴⁰²⁴+2×2²⁰¹²+1=2⁴⁰²⁴+2²⁰¹³+1＜2⁴⁰²⁴+2²⁰¹¹+2²⁰¹³+1，
∴$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$＞$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$；
故答案為：＞．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較、不等式的性質(zhì)，理解有理數(shù)的乘方的意義準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．