Question

8．如圖，四邊形ABCD中，G，H分別是AD，BC的中點，AB=CD，BA，CD的延長線交HG的延長線于點E，F(xiàn)，求證：∠BEH=∠CFH．

Answer 1

分析 如圖，連接BD，作BD的中點M，連接HM、GM．利用三角形中位線定理證得△HMG是等腰三角形，則∠MHG=∠MGH．利用三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)推知∠MHG=∠AEH，∠MHG=∠DFH．根據(jù)等量代換證得∠BEH=∠CFH．

解答 證明：如圖，連接BD，作BD的中點M，連接HM、GM．
∵點G是AD的中點，
∴在△ABD中，GM∥AB，GM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MHG=∠AEH，
同理可證：HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．
∴∠MHG=∠DFH．
又∵AB=CD，∴GM=HM，
∴∠MHG=∠MGH 即∠BEH=∠CFH．

點評 此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，題目的綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是正確添加輔助線．