Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是BC的中點，點F在AB邊上，BF=2AF，延長BC至點M，使得CM=AF．
（1）試判斷FD和DM的位置和大小關(guān)系，并說明理由；
（2）求∠EDF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，則利用“SAS”判定△ADF≌△CDM，所以FD=MD，∠ADF=∠CDM，則可計算出∠FDM=90°，于是可判斷FD⊥DM；
（2）先計算出BE=CE=3，BF=4，AF=2，則CM=AF=2，EM=EC+CM=5，再利用勾股定理計算出EF=5，則可根據(jù)“SSS”判定△DEF≌△DEM，得到∠EDF=∠EDM，所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠FDM=45°．

解答 解：（1）FD=DM，F(xiàn)D⊥DM．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△CDM中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCM}\\{AD=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDM，
∴FD=MD，∠ADF=∠CDM，
∴∠FDM=∠FDC+∠CDM=∠FDC+∠ADF=90°，
∴FD⊥DM；
（2）∵點E是BC的中點，
∴BE=CE=3，
∵BF=2AF，AB=6，
∴BF=4，AF=2，
∴CM=AF=2，
∴EM=EC+CM=5，
在△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EF=EM，
在△DEF和△DEM中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=EM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEM，
∴∠EDF=∠EDM，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠FDM=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．