Question

14．某住宅小區(qū)將現(xiàn)有一塊三角形的綠化地改造為一塊圓形的綠化地（如圖1，已知原來三角形綠化地中道路AB長為16$\sqrt{2}$米，在點(diǎn)B的拐彎處道路AB與BC所夾的∠B為45°，在點(diǎn)C的拐彎處道路AC與BC所夾的∠C的正切值為2（即tan∠C=2），如圖2；
（1）求拐彎點(diǎn)B與C之間的距離；
（2）在改造好的圓形（圓O）綠化地中，這個(gè)圓O過點(diǎn)A、C，并與原道路BC交于點(diǎn)D，如果點(diǎn)A是圓弧（優(yōu)�。┑缆稤C的中點(diǎn)，求圓O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AE⊥BC于E．分別求出BE、EC即可解決問題；
（2）如圖2中，連接AO，延長AO交BC于E，連接OC．首先證明AE⊥BC，在Rt△OEC中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=16$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=16，
在Rt△AEC中，tanc=$\frac{AE}{EC}$=2，
∴$\frac{16}{EC}$=2，
∴EC=8，
∴BC=BE+CE=16+8=24．

（2）如圖2中，連接AO，延長AO交BC于E，連接OC．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AE⊥CD，設(shè)OA=OC=R，
在Rt△OEC中，∵OE²+EC²=OC²，
∴（16-R）²+8²=R²，
∴R=10，
∴⊙O的半徑為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．