Question

已知拋物線(xiàn)y=x²-7x+10與x軸的交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)），拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，則在拋物線(xiàn)AP段（不包括A、P點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAP的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：作MH⊥x軸于H，交AP于N，先解方程x²-7x+10=0確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），再確定P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），然后利用待定系數(shù)法確定為直線(xiàn)AP的解析式為y=-x+2，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-7x+10），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+2），則MN=-x²+6x-8，接著得到S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=

1

2

•（4-2）•（-x²+6x-8），于是可根據(jù)二次的最值問(wèn)題進(jìn)行求解．

解答：解：存在．
如圖，作MH⊥x軸于H，交AP于N，
把y=0代入y=x²-7x+10得x²-7x+10=0，解得x₁=2，x₂=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
把x=4代入y=x²-7x+10得y=16-28+10=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），
設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=kx+b，
把A（2，0）、P（4，-2）代入得

2k+b=0 4k+b=-2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直線(xiàn)AP的解析式為y=-x+2，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-7x+10），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+2），
∴MN=-x+2-（x²-7x+10）=-x²+6x-8，
∴S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=

1

2

•（4-2）•（-x²+6x-8）=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，
∴當(dāng)x=3時(shí)，△MAP的面積最大值為1，
把x=3代入y=x²-7x+10得y=9-21+10=-2，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．