Question

17．已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＞0）的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，它的頂點為P，直線CP與過點B垂直于x軸的直線交于點D，且CP：PD=1：2
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若tan∠PDB=1，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將直線CP先繞點C旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，Q是直線n上的動點，是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形？若存在，求出所有點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對稱軸為x=1，然后利用平行線分線段成比例定理求得OE：EB的值，從而得到點B的坐標，利用拋物線的對稱性可求得點A的坐標；
（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．先求得點C和點P的坐標（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得c的值．；
（3）先求得拋物線的頂點坐標，然后再求得直線n=-2．設點Q的坐標為（a，-2），依據(jù)兩點間的距離公式可知：PO²=17，PQ²=（1-a）²+4，OQ²=a²+4，
最后依據(jù)勾股定理的逆定理列方程求解即可．

解答 解：（1）如圖所示：

∵由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，
∴$\frac{EO}{BE}=\frac{CP}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵點A與點B關(guān)于PE對稱，
∴點A的坐標為（-1，0）．
（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．

將x=0代入得：y=c，
∴點C的坐標為（0，c）．
將x=1代入得y=-a+c．
∴點P的坐標為（1，-a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠BPD=1，
∴tan∠FPC=1．
∴$\frac{CF}{PF}$=$\frac{1}{a}$=1，解得a=1．
將a=1代入拋物線的解析式得：y=x²-2x+c．
將點A的坐標代入得：1+2+c=0，解得：c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點P的坐標為（1，-4）．
由題意可知：直線n=-2．
設點Q的坐標為（a，-2），依據(jù)兩點間的距離公式可知：PO²=17，PQ²=（1-a）²+4，OQ²=a²+4，
當PQ²+OQ²=PO²時，（1-a）²+4+a²+4=17，解得：a=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$．
∴點Q的坐標為（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-2）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-2）．
當PO²+PQ²=OQ²時，17+（1-a）²+4=a²+4，解得a=9．
∴點Q的坐標為（9，-2）．
當PO²+OQ²=PQ²時，17+a²+4=（1-a）²+4，解得：a=-8．
∴點Q的坐標為（-8，-2）．
綜上所述，點Q的坐標為（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-2）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-2）或（9，-2）或（-8，-2）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了拋物線的對稱性，銳角三角函數(shù)的定義，平行線分線段成比例定理，勾股定理的逆定理，作CF垂直于對稱軸，利用銳角三角函數(shù)的定義求得a的值是解題的關(guān)鍵．