Question

2．閱讀材料，解決問題：
材料1：在研究數(shù)的整除時(shí)發(fā)現(xiàn)：能被5、25、125、625整除的數(shù)的特征是：分別看這個(gè)數(shù)的末一位、末兩位、末三位、末四位即可，推廣成一條結(jié)論；末n位能被5ⁿ整除的數(shù)，本身必能被5ⁿ整除，反過來(lái)，末n位不能被5ⁿ整除的數(shù)，本身也不可能被5ⁿ整除，例如判斷992250能否被25、625整除時(shí)，可按下列步驟計(jì)算：
∵25=5²，50÷25=2為整數(shù)，∴992250能被25整除
∵625=5⁴，2250÷625=3.6不為整數(shù)，∴992250不能被625整除
材料2：用奇偶位差法判斷一個(gè)數(shù)能否被11這個(gè)數(shù)整除時(shí)，可把這個(gè)數(shù)的奇位上的數(shù)字與偶位上的豎直分別加起來(lái)，再求它們的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，則原數(shù)能被11整除，反之則不能
（1）若$\overline{6m2}$這個(gè)三位數(shù)能被11整除，則m=8；在該三位數(shù)末尾加上和為8的兩個(gè)數(shù)字，讓其成為一個(gè)五位數(shù)，該五位數(shù)仍能被11整除，求這個(gè)五位數(shù)
（2）若$\overline{5abcde}$這個(gè)六位數(shù)，千位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，且這個(gè)數(shù)既能被125整除，又能被11整除，求這個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）奇數(shù)位分別是6和2，偶數(shù)為是m，根據(jù)題意可知6+2-m能被11整除，且m為0至9的數(shù)，從而可求出m的值．設(shè)該五位數(shù)為$\overline{682ab}$，由題意可知a+b=8，且設(shè)b-a=11n，從而求出a、b的值．
（2）根據(jù)題意可知：b=2e，所以e只能取0或1或2或3或4，由材料一可知：$\overline{cde}$能被125整除，可知$\overline{cde}$=250或500或750，然后分情況求出a、b、c、d、e的值．

解答 解：（1）奇數(shù)位分別是6和2，偶數(shù)為是m，
∴由材料可知：6+2-m能被11整除，
∵0≤m≤9，且m是正整數(shù)，
∴m=8，
設(shè)該五位數(shù)為$\overline{682ab}$，
∴偶數(shù)位之和為：2+6+b
奇數(shù)位之和為：8+a，
∴根據(jù)題意可知：8+b-8-a=b-a能被11整除，
∴設(shè)b-a=11n，n為整數(shù)，
∵a+b=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{b-a=11n}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8-11n}{2}}\\{b=\frac{8+11n}{2}}\end{array}\right.$
∵0≤a≤9，0≤b≤9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{8-11n}{2}≤9}\\{0≤\frac{8+11n}{2}≤9}\end{array}\right.$
∴-$\frac{8}{11}$≤n≤$\frac{8}{11}$，
∴n=0，
∴a=4，b=4，
∴該數(shù)為68244，
（2）由題意可知：b=2e，
∵0≤b≤9，
∴0≤e≤4.5，
∴e=0或1或2或3或4，
∴由材料一可知：$\overline{cde}$能被125整除，
∴$\overline{cde}$=125n，n為正整數(shù)，
∴1≤n≤7，
∵e=0或1或2或3或4，
∴n=2或4或6，
∴$\overline{cde}$=250或500或750
∵偶數(shù)位之和為：5+b+d=5+2e+d
奇數(shù)位之和為：a+c+e=a+c+e，
∴|（5+2e+d）-（a+c+e）|=|5+e+d-a-c|能被11整除，
當(dāng)$\overline{cde}$=250時(shí)，
∴c=2，d=5，e=0，b=0，
∴|5+e+d-a-c|=|8-a|，
設(shè)|8-a|=11m，m為正整數(shù)，
∴a=8±11m，
∵0≤a≤9，
∴-$\frac{1}{11}$≤m≤$\frac{8}{11}$或-$\frac{8}{11}$≤m≤$\frac{1}{11}$
∴m=0
∴a=8，
∴該數(shù)為580250，
同理：當(dāng)$\overline{cde}$=500時(shí)，
該數(shù)為500500，
當(dāng)$\overline{cde}$=750時(shí)
該數(shù)為530750，
綜上所述，該數(shù)為580250或500500或530750
故答案為：（1）8；

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的推理能力，涉及不等式的解法，整除的性質(zhì)，分類討論的思想，本題綜合考查學(xué)生的推理能力以及閱讀能力．