Question

8．如圖，已知A（3，0）、B（3，$\sqrt{3}$）、C（1，0），點(diǎn)P為OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作出點(diǎn)C關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)C′，然后由軸對(duì)稱的性質(zhì)和特殊銳角三角函數(shù)，求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得C′A的長(zhǎng)度，從而求得PC+PA的最小值．

解答 解：如圖所示：作出點(diǎn)C關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)C′．
 
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠BOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BOA=30°．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：OC=OC′=1，∠C′OP=∠COP=30°，
∴sin60°×OC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°×OC′=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：C′A=$\sqrt{（3-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知；當(dāng)C′、P、A在一條直線上時(shí)，點(diǎn)PA+PC′有最小值
∴PA+PC的最小值=PA+PC′=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)、勾股定理，明確當(dāng)C′、P、A在一條直線上時(shí)，點(diǎn)PA+PC′有最小值是解題的關(guān)鍵．