Question

13．閱讀材料
大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時(shí)，曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：1+2+3+4+5+…+100=？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是：1+2+3+4+5+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題：1×2+2×3+3×4+4×5×…+n（n+1）=？
觀(guān)察下面三個(gè)特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}（1×2×3-0×1×2）$．
2×$3=\frac{1}{3}（2×3×4-1×2×3）$．
3×$4=\frac{1}{3}（3×4×5-2×3×4）$．
如果將這三個(gè)等式的兩邊相加，你會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？
解決問(wèn)題
要求：直接在橫線(xiàn)上寫(xiě)出結(jié)果（式子或數(shù)值），不必寫(xiě)過(guò)程．
（1）將材料中的三個(gè)特殊的等式兩邊相加，可以得到：
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5；
（2）探究并計(jì)算：
1×2+2×3+3×4+4×5+…+20×21=$\frac{1}{3}$×20×21×22；
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 （1）將三式子相加求出結(jié)果即可；
（2）原式各項(xiàng)歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，計(jì)算即可．

解答 解：（1）三式相加得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$×3×4×5；
（2）歸納總結(jié)得：原式=$\frac{1}{3}$×20×21×22；原式=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
故答案為：（1）$\frac{1}{3}$×3×4×5；（2）$\frac{1}{3}$×20×21×22；$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．