Question

10．在△ABC中，E、F、P分別在邊BC、CA、AB上，已知AE、BF、CP相交于一點(diǎn)D，且$\frac{AD}{DE}$+$\frac{BD}{DF}$+$\frac{CD}{DP}$=1994，則$\frac{AD}{DE}$•$\frac{BD}{DF}$•$\frac{CD}{DP}$的值等于1996．

Answer 1

分析 觀察所求式子可知，直接進(jìn)行線段比值推導(dǎo)明顯很復(fù)雜，因此可考慮從面積的角度入手．不妨設(shè)S_△ABD=S₁，S_△BDC=S₂，S_ADC=S₃，則$\frac{AD}{DE}$、$\frac{BD}{DF}$、$\frac{CD}{DP}$均可以用S₁、S₂、S₃表示，三者相乘化簡(jiǎn)即可得結(jié)果．

解答 解：設(shè)S_△ABD=S₁，S_△BDC=S₂，S_ADC=S₃，
 

則$\frac{AD}{DE}=\frac{{S}_{ABD}}{{S}_{BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{{S}_{△ABD}+{S}_{△ADC}}{{S}_{△BDE}+{S}_{△DEC}}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$，
同理：$\frac{BD}{DF}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$，$\frac{CD}{DP}=\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$，
$\frac{AD}{DE}+\frac{BD}{DF}+\frac{CD}{DP}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$+$\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$=1994，
$\frac{AD}{DE}•\frac{BD}{DF}•\frac{CD}{DP}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$•$\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$=1994+2=1996．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)及面積法，難度較大．在面對(duì)較復(fù)雜的線段比例問(wèn)題時(shí)，借助面積法往往會(huì)使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，這一點(diǎn)值得注意．