Question

15．如圖1，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)-2和5．P是數(shù)軸上的一個動點，表示數(shù)a．
（1）用含a的式子表示線段AP+BP=7或3-2a或2a+7（提示：AP表示線段AP的長度）
（2）點P運動過程中，線段AP+BP的最小值為7：
（3）如圖2，點Q為平面內一點，若QH=4．是否存在動點P，使得△APQ、△BPQ的面積的和為18．若存在，求此時點P在數(shù)軸上所表示的有理數(shù)．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分點P在AB之間、點P在點A左側、點P在點B右側三種情況，根據(jù)兩點間的距離公式可得；
（2）由（1）可得；
（3）根據(jù)S_△APQ+S_△BPQ=18，知$\frac{1}{2}$AP•QH+$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$QH•（AP+BP），在結合（1）中所列情況逐一計算即可得知．

解答 解：（1）當點P在AB之間時，AP+BP=a+2+5-a=7，
當點P在點A左側時，AP+BP=-2-a+5-a=3-2a，
當點P在點B右側時，AP+BP=a+2+a+5=2a+7，
故答案為：7或3-2a或2a+7；

（2）由（1）知，AP+BP的最小值為7，
故答案為：7；

（3）存在，
∵S_△APQ+S_△BPQ=18，
∴$\frac{1}{2}$AP•QH+$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$QH•（AP+BP）
①當點P在AB之間時，AP+BP=a+2+5-a=7，
∴$\frac{1}{2}$×4×7=14≠18；
②當點P在點A左側時，AP+BP=-2-a+5-a=3-2a，
∴$\frac{1}{2}$×4（3-2a）=18，
解得：a=-3；
③當點P在點B右側時，AP+BP=a+2+a+5=2a+7，
∴$\frac{1}{2}$×4（2a+7）=18，
解得：a=1＜5（舍）；
∴當a=-3時，△APQ、△BPQ的面積的和為18．

點評 本題主要考查圖形的變化，熟練掌握兩點間的距離公式及分類討論是解題的關鍵．