Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為6的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，直線y=mx+2與OC，BC兩邊分別相交于點D，G，以DG為邊作菱形DEFG，頂點E在OA邊上．
（1）如圖1，當(dāng)CG=OD時，直接寫出點D和點G的坐標(biāo)，并求直線DG的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，連接BF，設(shè)CG=a，△FBG的面積為S．
①求S與a的函數(shù)關(guān)系式；
②判斷S的值能否等于等于1？若能，求此時m的值，若不能，請說明理由；
（3）如圖3，連接GE，當(dāng)GD平分∠CGE時，m的值為$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入y=mx+2得y=2，故此點D的坐標(biāo)為（0，2），由CG=OD=2可知點G的坐標(biāo)為（2，6），將點G（2，6）代入y=mx+2可求得m=2；
（2）①如圖1所示：過點F作FH⊥BC，垂足為H，延長FG交y軸與點N．先證明Rt△GHF≌Rt△EOD，從而得到FH=DO=2，由三角形的面積公式可知：S=6-a．②當(dāng)s=1時，a=5，在△CGD中由勾股定理可求得DG=$\sqrt{41}$，由菱形的性質(zhì)可知；DG=DE=$\sqrt{41}$，在Rt△DOE中由勾股定理可求得OE=$\sqrt{37}$＞6，故S≠1；
（3）如圖2所示：連接DF交EG于點M，過點M作MN⊥y軸，垂足為N．由菱形的性質(zhì)可知：DM⊥GM，點M為DF的中點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：MD=CD=4，由中點坐標(biāo)公式可知點M的縱坐標(biāo)為3，于是得到ND=1，根據(jù)勾股定理可求得MN=$\sqrt{15}$，于是得到點M的坐標(biāo)為（$\sqrt{15}$，3）然后利用待定系數(shù)法求得DM、GM的解析式，從而可得到點G的坐標(biāo)，最后將點G的坐標(biāo)代入y=mx+2可求得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

解答 （1）∵將x=0代入y=mx+2得；y=2，
∴點D的坐標(biāo)為（0，2）．
∵CG=OD=2，
∴點G的坐標(biāo)為（2，6）．
將點G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．
解得：m=2．
∴直線DG的函數(shù)表達式為y=2x+2．
（2）①如圖1所示：過點F作FH⊥BC，垂足為H，延長FG交y軸與點N．

∵四邊形DEFG為菱形，
∴GF=DE，GF∥DE．
∴∠GNC=∠EDO．
∴∠NGC=∠DEO．
∴∠HGF=∠DEO．
在Rt△GHF和Rt△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGF=∠DEO}\\{∠GHF=∠EOD}\\{DE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GHF≌Rt△EOD．
∴FH=DO=2．
∴${S}_{△GBF}=\frac{1}{2}GB•HF$=$\frac{1}{2}$×2×（6-a）=6-a．
∴S與a之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=6-a．
②當(dāng)s=1時，則6-a=1．
解得：a=5．
∴點G的坐標(biāo)為（5，6）．
在△DCG中，由勾股定理可知；DG=$\sqrt{C{D}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∵四邊形GDEF是菱形，
∴DE=DG=$\sqrt{41}$．
在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{41-4}$=$\sqrt{37}$＞6．
∴OE＞OA．
∴點E不在OA上．
∴S≠1．
（3）如圖2所示：連接DF交EG于點M，過點M作MN⊥y軸，垂足為N．

又∵四邊形DEFG為菱形，
∴DM⊥GM，點M為DF的中點．
∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，
∴MD=CD=4．
∵由（2）可知點F的坐標(biāo)為4，點D的縱坐標(biāo)為2，
∴點M的縱坐標(biāo)為3．
∴ND=1．
在Rt△DNM中，MN=$\sqrt{D{M}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
∴點M的坐標(biāo)為（$\sqrt{15}$，3）．
設(shè)直線DM的解析式為y=kx+2．將（$\sqrt{15}$，3）代入得：$\sqrt{15}$k+2=3．
解得：k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴設(shè)直線MG的解析式為y=$-\sqrt{15}$x+b．將（$\sqrt{15}$，3）代入得：-15+b=3．
解得：b=18．
∴直線MG的解析式為y=-$\sqrt{15}$x+18．
將y=6代入得：$-\sqrt{15}x+18=6$．
解得：x=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．
∴點G的坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，6）．
將（$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，6）代入y=mx+2得：$\frac{4\sqrt{15}}{5}$m+2=6．
解得：m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、角平分線的性質(zhì)，求得點M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．