Question

10．如圖，點(diǎn)D，E分別在等邊△ABC的邊BC，AB上，且AE=BD，連接AD，CE交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BQ∥CE交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．
（1）求∠AFE的度數(shù)；
（2）求證：AF=BQ．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根據(jù)SAS易證△ABD≌△CAE，則∠BAD=∠ACE，由∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，所以∠ACE+∠DAC=60°，再根據(jù)∠AFE=∠ACE+∠DAC，即可解答；
（2）延長(zhǎng)CE到M，使CM=AQ，連接AM，根據(jù)SAS推出△BAQ≌△CAM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠Q=∠M，AM=BQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠Q=∠AFM，求出∠M=∠AFM，求出AM=AF即可．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=BC=AC．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD=∠ACE，
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACE+∠DAC=60°，
∵∠AFE=∠ACE+∠DAC，
∴∠AFE=60°；

（2）證明：
延長(zhǎng)CE到M，使CM=AQ，連接AM，
∵在△BAQ和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAQ=∠ACM}\\{AQ=CM}\end{array}\right.$
∴△BAQ≌△CAM（SAS），
∴∠Q=∠M，AM=BQ，
∵BQ∥CE，
∴∠Q=∠AFM，
∴∠M=∠AFM，
∴AM=AF，
∵AM=BQ，
∴AF=BQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．