Question

11．如圖，⊙O的弦AB=4cm，點(diǎn)C為優(yōu)弧$\widehat{AB}$上的動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°．若弦DE經(jīng)過(guò)弦AC、BC的中點(diǎn)M、N，則DM+EN的最大值是6cm．

Answer 1

分析 由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出MN=$\frac{1}{2}$AB為定值，則NE+DM=DE-MN，所以當(dāng)MN取最大值時(shí)，DM+EN有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)DE為⊙O的直徑時(shí)，可求得DM+EN的最大值．

解答 解：當(dāng)DE為⊙O的直徑時(shí)，DM+EN有最大值．
當(dāng)DE為直徑時(shí)，M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，
∴AC也是直徑，AC=8cm．
∵∠ABC是直徑所對(duì)的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，AB=4cm，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=8．
∵點(diǎn)M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴DM+EN=DE-MN=8-2=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)和圓周角定理，綜合運(yùn)用以上定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．