Question

16．如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E．
①△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；
②隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①先根據(jù)△AOB與△CBD均是等邊三角形得出OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，再由SAS定理即可得出結(jié)論；
②根據(jù)①容易得到∠OAE=60°，然后根據(jù)在Rt△OAE中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE=2，從而得到E的坐標(biāo)是固定的．

解答 解：①全等．
理由：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OB=AB\\∠OBC=∠ABD\\ BC=BD\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．           

②不變．
理由：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．