Question

13．如圖，AB是半圓O直徑，點C是⊙O上一點，過點O作OD∥AC交BC于點D，在OD的延長線上取一點E，使∠OEB=∠ABC．
（1）求證：BE是⊙O切線；
（2）若OA=2，OE=4，求弧BC長．

Answer 1

分析 （1）首先由AB是半圓O的直徑可以得到∠ACB=90°，由OD∥AC利用平行線的性質(zhì)可以得到∠EDB=90°，而∠OEB=∠ABC，由此可以證明∠ABC+∠DBE=90°，最后利用切線的判定即可證明題目的結(jié)論；
（2）首先解直角三角形求得∠EOB=60°，進(jìn)而求得∠BOC=120°，然后根據(jù)弧長公式即可求解．

解答 （1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB=90°，
∴∠OEB+∠DBE=90°，
而∠OEB=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
∵OB為半徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：在RT△OBE中，cos∠EOB=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{OA}{OE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EOB=60°，
連接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠EOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC長=$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

點評 此題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理的應(yīng)用，解直角三角形和弧長的計算等，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握各知識點的內(nèi)容．