Question

3．某企業(yè)為重慶計算機產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件．受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數(shù)）之間的函數(shù)關系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價格y1（元/件）	560	580	600	620	640	660	680	700	720

隨著國家調(diào)控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢：
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識，直接寫出y₁ 與x之間的函數(shù)關系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數(shù)關系式；
（2）若去年該配件每件的售價為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，該配件在1至9月的銷售量p₁（萬件）與月份x滿足關系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數(shù)），10至12月的銷售量p₂（萬件）p₂=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數(shù)）．求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料價格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒有變化，該企業(yè)將每件配件的售價在去年的基礎上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎上減少0.1a%．這樣，在保證每月上萬件配件銷量的前提下，完成1至5月的總利潤1700萬元的任務，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：99²=9801，98²=9604，97²=9409，96²=9216，95²=9025）

Answer 1

分析 （1）把表格（1）中任意2點的坐標代入直線解析式可得y₁的解析式．把（10，730）（12，750）代入直線解析式可得y₂的解析式，
（2）分情況探討得：1≤x≤9時，利潤=P₁×（售價-各種成本）；10≤x≤12時，利潤=P₂×（售價-各種成本）；并求得相應的最大利潤即可；
（3）根據(jù)1至5月的總利潤1700萬元得到關系式求值即可．

解答 解：（1）設y₁=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=560}\\{2k+b=580}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=20}\\{b=540}\end{array}\right.$．
∴y₁=20x+540（1≤x≤9，且x取整數(shù)）；
設y₂=ax+b，則$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=730}\\{12a+b=750}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=630}\end{array}\right.$．
∴y₂=10x+630（10≤x≤12，且x取整數(shù)）；
（2）設去年第x月的利潤為W萬元．
1≤x≤9，且x取整數(shù)時，W=P₁×（1000-50-30-y₁）=-2x²+16x+418=-2（x-4）²+450，
∴x=4時，W最大=450萬元；
10≤x≤12，且x取整數(shù)時，W=P₂×（1000-50-30-y₂）=（x-29）²，
∴x=10時，W最大=361萬元；
∵450萬元＞361萬元，
∴4月份利潤最大，最大利潤是450萬元；
（3）去年12月的銷售量為-0.1×12+2.9=1.7（萬件），
今年原材料價格為：750+60=810（元）
今年人力成本為：50×（1+20%）=60元．
∴5×[1000×（1+a%）-810-60-30]×1.7（1-0.1×a%）=1700，
設t=a%，整理得10t²-99t+10=0，
解得t=$\frac{99±\sqrt{9401}}{20}$，
∵9401更接近于9409，
∴$\sqrt{9401}$≈97，
∴t₁≈0.1，t₂≈9.8，
∴a₁≈10或a₂≈980，
∵1.7（1-0.1×a%）≥1，
∴a≈10．
答：a的整數(shù)解為10．

點評 本題綜合考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應用；根據(jù)二次函數(shù)的最值及相應的取值范圍得到一定范圍內(nèi)的最大值是解決本題的易錯點；利用估算求得相應的整數(shù)解是解決本題的難點．