Question

10．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、BC上一點，∠A=∠EDF=60°，有下列結(jié)論：①AE=BF，②△DEF 是等邊三角形，③△BEF是等腰三角形，④∠ADE=∠BEF，其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③④
• C． ①②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 連接BD，易證得△ADE≌△BDF，然后可證得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等邊三角形，然后可證得∠ADE=∠BEF．

解答 解：
連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正確；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等邊三角形，故②正確；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正確．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③錯誤．
綜上所述，結(jié)論正確的是①②④．
故選D．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意題目中角之間的關(guān)系．