Question

如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F．
（1）如圖①，若AC=BC，CE=EA，探索線段EF與EG的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（2）如圖②，若AC=mBC，CE=kEA，探索線段EF與EG的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先證△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作為一個條件，再利用ASA易證Rt△EFQ≌Rt△EGH，從而有EF=EG；
（2）過點E作EQ⊥AB，EH⊥CD，根據(jù)CD⊥AB和EF⊥BE先證明△EFQ與△EGH相似，得到EF：EG=EQ：EH，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出EQ：CG=AE：AC，EH：AD=CE：AC，結合CE=kEA即可用CD、AD表示出EQ與EH，再利用∠A的正切值即可求出．

解答：證明：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
在△AEQ與△ECH中，

∠AQE=∠EHC ∠A=∠ACD EA=CE

，
∴△AEQ≌△ECH（AAS），
∴EQ=EH，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF=EG；
（2）過E作EQ⊥AB，EH⊥CD，
∵CD⊥AB，
∴EQ∥CD，EH∥AB，
∵EF⊥BE，
∴∠EFQ+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGH（對頂角相等）
∴∠EFQ=∠EGH，
∴△EFQ∽△EGH，
∴

EF

EG

=

EQ

EH

，
在△ADC中，
∵EQ∥CD，
∴

EQ

CD

=

AE

AC

，
又∵CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EQ，
同理

EH

AD

=

CE

AC

，
∴AD=

k+1

k

EH，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

m

，
即

(k+1)EQ

k+1 k EH

=

1

m

，
∴

EQ

EH

=

1

km

，
∴EF=

1

km

EG．

點評：考查了相似三角形的判定與性質，本題難度較大，主要利用相似三角形對應邊成比例求解，正確作出輔助線是解本題的關鍵，這就要求同學們在平時的學習中不斷積累經驗，開拓視野．