Question

17．已知函數(shù)y=$\frac{m}{x-1}$（x＞1，m＞0）的圖象C是由函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）的圖象向右平移一個(gè)單位得到，如圖所示，函數(shù)y=-x+5的圖象與圖象C交于A，B兩點(diǎn)，作AD⊥y軸，垂足為D．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若AB=$\sqrt{2}$AD，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立方程，整理得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意得到△=36-4（5+m）＞0，從而求得m的取值；
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，$\frac{m}{{x}_{0}-1}$），由AB=$\sqrt{2}$AD，得到B（2x₀，$\frac{m}{2{x}_{0}-1}$），把A、B代入y=-x+5得到方程組，解方程組求得m的值．

解答 解（Ⅰ）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{m}{x-1}}\end{array}\right.$，
整理得x²-6x+5+m=0，
∵函數(shù)y=-x+5的圖象與圖象C交于A，B兩點(diǎn)，
∴△=36-4（5+m）＞0，
∵m＞0，
∴0＜m＜4；
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，$\frac{m}{{x}_{0}-1}$），
∵AB=$\sqrt{2}$AD，
∴B（2x₀，$\frac{m}{2{x}_{0}-1}$），
把A、B代入y=-x+5得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{{x}_{0}-1}=-{x}_{0}+5}\\{\frac{m}{2{x}_{0}-1}=-2{x}_{0}+5}\end{array}\right.$，
解得m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．