Question

5．已知，如圖雙曲線y=$\frac{4}{x}$（x＞0）與直線EF交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且AE=AB=BF，連結(jié)AO，BO，它們分別與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，則：
（1）AB與CD的位置關(guān)系是平行；
（2）四邊形ABDC的面積為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，由雙曲線y=$\frac{4}{x}$（x＞0）與直線EF交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE=AB=BF，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{m}$），得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2m，$\frac{2}{m}$），則可由S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN，求得△AOB的面積，易得△ODH∽△OBN，可得（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{1}{2}$，繼而可得$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，所以AB∥CD  
（2）由$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，∠COD=∠AOB則可證得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答 解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，
∴AM∥DH∥BN∥y軸，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（m，$\frac{4}{m}$），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=NF，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2m，$\frac{2}{m}$），
∴S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN=2+$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{m}$+$\frac{4}{m}$）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{DH}{BN}$=$\frac{OH}{ON}$，
∵DH•OH=2，BN•ON=4，
∴（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
同理：（$\frac{OC}{OA}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴AB∥CD  
故答案為：平行； 

（2）∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOB}}$=（ $\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△COD=$\frac{3}{2}$，
∴S_{四邊形ABDC}=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．