Question

7．如圖，拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），交y軸于C，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于H，頂點(diǎn)為M，AC、BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P₁（n，y₁），P₂（n+1，y₂），P₃（n+2，y₃），問(wèn)在此拋物線上是否存在整數(shù)n，使$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$？若存在，請(qǐng)求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）P（x，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為線段MH上的一動(dòng)點(diǎn)，若∠CQP=90°，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）只需把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問(wèn)題；
（2）首先把y₁、y₂、y₃用n的式子表示，然后代入$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$，得到關(guān)于n的方程，然后將方程轉(zhuǎn)化為$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{6}{7}$①，然后運(yùn)用放縮法得到16＜n²＜23，由此可得到滿足條件的整數(shù)n不存在；
（3）可分點(diǎn)三種情況（P在點(diǎn)H的右邊、點(diǎn)H處、點(diǎn)H的左邊）討論，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）不存在．
理由如下：
∵P₁（n，y₁），P₂（n+1，y₂），P₃（n+2，y₃）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴${y}_{1}={n}^{2}-2n-3$=（n-3）（n+1），
${y}_{2}=（n+1）^{2}-2（n+1）-3={n}^{2}-4$=（n+2）（n-2），
${y}_{3}=（n+2）^{2}-2（n+2）-3={n}^{2}+2n-3$=（n+3）（n-1）．
∵$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{（n-3）（n+1）}$+$\frac{1}{（n+2）（n-2）}$+$\frac{1}{（n+3）（n-1）}$=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{3}{14}$，
∴$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{6}{7}$，
∴$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$=$\frac{6}{7}$①．
∵n為整數(shù)，
∴由①可得n²＞16．
∵n²-1＞n²-4＞n²-9＞0，
∴0＜$\frac{1}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-4}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-9}$，
∴$\frac{4}{{n}^{2}-4}$＜$\frac{4}{{n}^{2}-9}$，$\frac{2}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{2}{{n}^{2}-9}$，
∴$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-4}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$＜$\frac{6}{{n}^{2}-9}$+$\frac{4}{{n}^{2}-9}$+$\frac{2}{{n}^{2}-9}$，
即$\frac{6}{7}$＜$\frac{12}{{n}^{2}-9}$，
∴n²＜23．
∵n²＞16，
∴16＜n²＜23，
∴不存在整數(shù)n，使得16＜n²＜23；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的右邊時(shí)，如圖1，

由y=x²-2x-3=（x-1）²-4可得：
C（0，-3），點(diǎn)M（1，-4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1．
過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于N，設(shè)NQ=m
則有NH=OC=3，CN=1，0＜m≤1，
∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，
∴∠CQN=∠HPQ=90°-∠HQP，
∴△CNQ∽△QHP，
∴$\frac{CN}{QH}$=$\frac{NQ}{HP}$，
∴PH•CN=QH•NQ，
∴PH=m（m+3）=（m+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m≥-$\frac{3}{2}$時(shí)，PH隨著m的增大而增大．
∵0＜m≤1，
∴0＜PH≤（1+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即0＜PH≤4，
∴0＜x-1≤4，
∴1＜x≤5；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H處時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合，此時(shí)x=1；
③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的左邊時(shí)，如圖2，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于N，設(shè)NQ=m
則有NH=OC=3，CN=1，0＜m＜3，
∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，
∴∠CQN=∠HPQ=90°-∠HQP，
∴△CNQ∽△QHP，
∴$\frac{CN}{QH}$=$\frac{NQ}{HP}$，
∴PH•CN=QH•NQ，
∴PH=m（3-m）=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∵-1＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，PH取最大值為$\frac{9}{4}$．
∵0＜m＜3，
∴0＜PH≤$\frac{9}{4}$，
∴0＜1-x≤$\frac{9}{4}$，
∴-1＜-x≤$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{5}{4}$≤x＜1．
綜上所述：x的取值范圍為-$\frac{5}{4}$≤x≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，有一定的難度，運(yùn)用放縮法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．