Question

19．如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．
（1）求證：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，CD=3，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE，利用AD⊥DE可判定OC∥AD，則∠2=∠3，加上∠3=∠1，所以∠1=∠2，于是可判定BC=CF；
（2）先利用勾股定理計算出AE=10，設⊙O的半徑為r，利用OC∥AD可得到$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，然后求出r后計算AE-AB即可．

解答 （1）證明：連接OC，如圖，
∵DE為切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴BC=CF；
（2）解：在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
設⊙O的半徑為r，
∵OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{AE}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，
∴BE=AE-AB=10-2×$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．會運用相似比和勾股定理計算線段的長．