Question

20．如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分線交于點O₁稱為第1次操作，作∠O₁DC、∠O₁CD的平分線交于點O₂稱為第2次操作，作∠O₂DC、∠O₂CD的平分線交于點O₃稱為第3次操作，…，則第5次操作后∠CO₅D的度數(shù)是175°．

Answer 1

分析 先根據(jù)∠ADC、∠BCD的平分線交于點O₁，得出∠O₁DC+∠O₁CD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB），再根據(jù)∠O₁DC、∠O₁CD的平分線交于點O₂，得出∠O₂DC+∠O₂CD=$\frac{1}{{2}^{2}}$（∠ADC+∠DCB），根據(jù)規(guī)律可得到∠O₅DC+∠O₅CD=$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），最后將∠ADC+∠DCB=160°代入計算即可．

解答 解：如圖所示，∵∠ADC、∠BCD的平分線交于點O₁，
∴∠O₁DC+∠O₁CD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB），
∵∠O₁DC、∠O₁CD的平分線交于點O₂，
∴∠O₂DC+∠O₂CD=$\frac{1}{2}$（∠O₁DC+∠O₁CD）=$\frac{1}{{2}^{2}}$（∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O₃DC+∠O₃CD=$\frac{1}{2}$（∠O₂DC+∠O₂CD）=$\frac{1}{{2}^{3}}$（∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O₅DC+∠O₅CD=$\frac{1}{2}$（∠O₄DC+∠O₄CD）=$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），
∴△CO₅D中，∠CO₅D=180°-（∠O₅DC+∠O₅CD）=180°-$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），
又∵四邊形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO₅D=180°-$\frac{1}{{2}^{5}}$×160°=180°-5°=175°，
故答案為：175°．

點評 本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及角平分線的定義的運用，解決問題的關(guān)鍵是找出操作的變化規(guī)律，得到∠CO₅D與∠ADC+∠DCB之間的關(guān)系．