Question

18．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OB=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$
（1）求BC的值；
（2）若AB=BC，AD平分∠BAC交OB于I，交⊙O于D，連接BD，求IB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BO交⊙O于E，連接EC，根據(jù)圓周角定理得出∠BCE=90°，∠BAC=∠BEC，然后通過(guò)解直角三角函數(shù)即可求得；
（2）作OF⊥AC，根據(jù)垂徑定理求得OF是AC的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得B在AC的垂直平分線(xiàn)上，從而求得BF⊥AC，解直角三角函數(shù)求得BF、AF，然后作IG⊥AB于G，根據(jù)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AG=AF=，IG=IF，設(shè)IG=IF=x，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）延長(zhǎng)BO交⊙O于E，連接EC，
∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°，
∵∠BAC=∠BEC，
∵OB=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BE=10，sin∠BEC=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴BC=$\frac{4}{5}$×10=8；
（2）作OF⊥AC，
∴AF=CF，
∴OF是AC的垂直平分線(xiàn)，
∵AB=BC，
∴B在AC的垂直平分線(xiàn)上，
∴B在直線(xiàn)OF上，
∴BF⊥AC，
∵AB=BC=8，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$×8=$\frac{32}{5}$，AF=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$，
作IG⊥AB于G，
∵AD平分∠BAC，
∴AG=AF=$\frac{24}{5}$，IG=IF，
設(shè)IG=IF=x，則IB=$\frac{32}{5}$-x，
∵BG=AB-AG=8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵BG²+IG²=IB²，
∴（$\frac{16}{5}$）²+x²=（$\frac{32}{5}$-x）²，解得x=$\frac{12}{5}$，
∴TB=$\sqrt{B{G}^{2}+I{G}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{16}{5}）}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角函數(shù)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．