Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P移動到點D時，求出此時t的值；
（2）當(dāng)t為何值時，△PQB為直角三角形；
（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=$\frac{1}{t}$（x-t）²+t（t＞0）．問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應(yīng)頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出DO的長，進(jìn)而得出t的值；
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；
（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°，三個對應(yīng)頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對稱性可求出t的值．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2；

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如圖1，

作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=$\sqrt{2}$t，
∴OG=PG=t，
∴點P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據(jù)兩點間的距離公式可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，則有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±$\sqrt{5}$．
∴當(dāng)t=2或t=5+$\sqrt{5}$或t=5-$\sqrt{5}$時，△PQB為直角三角形．
解法2：①如圖2，

當(dāng)∠PQB=90°時，
易知∠OPQ=90°，
∴BQ∥OD
∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2，
∴OQ=4，
∴2t=4，
∴t=2，
②如圖3，

當(dāng)∠PBQ=90°時，若點Q在OC上，
作PN⊥x軸于點N，交AB于點M，
則易證∠PBM=∠CBQ，
∴△PMB∽△QCB
∴$\frac{PM}{MB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t-2）=（2t-6）（6-t），
化簡得t²-10t+20=0，
解得：t=5±$\sqrt{5}$，
∴t=5-$\sqrt{5}$； 
③如圖4，

當(dāng)∠PBQ=90°時，若點Q在OC的延長線上，
作PN⊥x軸于點N，交AB延長線于點M，
則易證∠BPM=∠MBQ=∠BQC，
∴△PMB∽△QCB，
∴$\frac{PM}{MB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t-2）=（2t-6）（t-6），
化簡得t²-10t+20=0，
解得：t=5±$\sqrt{5}$，
∴t=5+$\sqrt{5}$； 

（3）存在這樣的t值，理由如下：
將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°，三個對應(yīng)頂點恰好都落在拋物線上，
則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)可表示為（$\frac{3}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），
∵點B坐標(biāo)為（6，2），
∴點B′的坐標(biāo)為（3t-6，t-2），
代入y=-$\frac{1}{t}$（x-t）²+t，得：2t²-13t+18=0，
解得：t₁=$\frac{9}{2}$，t₂=2．

點評 本題考查了相似形綜合題，涉及了動點問題，勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是討論點P的位置，由題意建立方程從而求出符合題意的t值，同時要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考，難度較大．