Question

6．如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）交x軸于點A（-3，0）與點B，與y軸交于點C，tan∠ABC=3，雙曲線$y=\frac{k}{x}（k≠0）$經過拋物線的頂點D．
（1）求該拋物線與雙曲線的解析式；
（2）已知點E（n，1）在雙曲線上，求△BDE的面積；
（3）在雙曲線上取一點F，在x軸上取一點G，若由C、D、F、G四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據正切函數值，可用C點坐標表示B點坐標，根據待定系數法，可得拋物線的解析式；根據頂點坐標公式，可得D點坐標，根據待定系數法，可得雙曲線的解析式；
（2）根據待定系數法，可得DE的解析式，根據自變量的值，可得F點坐標，根據三角形面積的和差，可得答案；
（3）分類討論：以FC為對角線；以DF為對角線；以DC為對角線；根據平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行線的k值相等，可得關于a、b的方程組，根據解方程組，可得答案．

解答 解：（1）設C點坐標為（0，c），B點坐標為（$\frac{c}{3}$，0），
將A、B、C的坐標代入拋物線的解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{\frac{a{c}^{2}}{9}+\frac{2ac}{3}+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
拋物線的頂點坐標D為（-1，4）．
設雙曲線的解析式為y=$\frac{k}{x}$，將拋物線的定點坐標為（-1，4），得
k=-4，
雙曲線的解析式為y=-$\frac{4}{x}$；
（2）當y=1時，1=-$\frac{4}{x}$，解得x=-4，即E（-4，1）．
設DE的解析式為y=kx+b，將D、E點坐標代入，得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
DE的解析式為y=x+5．
當y=0時，x+5=0，解得x=-5，即F（-5，0）如圖1：
．
S_△BDE=S_△BDF-S_△BEF=$\frac{1}{2}$[1-（-5）]×4-$\frac{1}{2}$[1-（-5）]×1=9；
（3）設F（a，-$\frac{4}{a}$），M（b，0），如圖2：
，
以FC為對角線，得$\left\{\begin{array}{l}{CD∥FM}\\{DF∥CM}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-\frac{4}{a}}{a-b}=\frac{0-（-1）}{3-4}①}\\{\frac{-\frac{4}{a}-4}{a+1}=\frac{0-3}{b-0}②}\end{array}\right.$，
化簡①得b=$\frac{{a}^{2}-4}{a}$ ③，
把③代入②并整理，得a³+a²-16a-16=0，
解得a₁=-1（不符合題意要舍去），a₂=4，a₃=-4，
當a₂=4時，b=$\frac{{4}^{2}-4}{4}$=3，即M₂（3，0），
當a₃=-4時，b=$\frac{（-4）^{2}-4}{-4}$=-3，即M₁（-3，0）；
以DF為對角線，平行四邊形不存在；
以DC為對角線的平行四邊形不存在，
綜上所述：M（3，0），（-3，0）．

點評 本題考查了反比例函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式，利用三角形面積的和差求三角形的面積，利用平行四邊形的判定，消元解方程組是解題關鍵．