Question

14．如圖，已知在正方形ABCD外取一點E，連接CE、BE、DE．過點C作CE的垂線交BE于點F．CE=CF=1，DF=$\sqrt{6}$．下列結(jié)論：①△BCF≌△DCE；②EB⊥ED；③點D到直線CE的距離為2；④S_{四邊形DECF}=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．其中正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識一一判斷即可．

解答 解：在正方形ABCD中，
BC=CD，∠BCD=90°，
∵∠EACF90°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
故①正確；
∵△BCF≌△DCE，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠DEB=∠BCD=90°，
∴BE⊥ED，
故②正確，
過點D作DM⊥CE，交CE的延長線于點M，
∵∠ECF=90°，
FC=EC=1，
∴∠CEF=45°，
∵∠DEM+∠CEB=90°，
∴∠DEM=∠EDM=45°，
∴EM=DM，
∴由勾股定理可求得：EF=$\sqrt{2}$，
∵DF=$\sqrt{6}$，
∴由勾股定理可求得：DE=2，
∵EF²+BF²=2BF²=BE²，
∴DM=EM=$\sqrt{2}$，故③錯誤，
∵△BCF≌△ADCE，
∴S_△BCF=S_△DCE，
∴S_△DCE+S_△DCF
=S_△ECF+S_△DEF
=S_△AEP+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，故④正確，
故答案為①②④

點評 本題考查四邊形的綜合問題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形面積公式等知識內(nèi)容，綜合程度高，需要學(xué)生靈活運用知識解答．