Question

4．已知點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，∠ACD=∠DAC，點(diǎn)E在邊BC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，若DE平分∠BDC，求證：DE∥AC；
（2）延長(zhǎng)CA到G，點(diǎn)F在ED的延長(zhǎng)線上；
①如圖2，若∠DCF=$\frac{1}{3}$∠DCA，∠FAD=$\frac{1}{3}$∠BAGM∠ADC=120°，求∠AFC的度數(shù)；
②如圖3，若∠EAD=$\frac{1}{3}$∠BAG，∠BDE=$\frac{1}{3}$∠BDC，猜想∠DFA與∠DAC滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形外角的性質(zhì)得出∠BDC=∠ACD+∠DAC=2∠DAC，角平分線的性質(zhì)得出∠BDE=∠BAC，得出結(jié)論；
（2）①②類比（1）的方法利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出答案即可．

解答 解：（1）∵∠ACD=∠DAC且∠BDC=∠ACD+∠DAC，
∴∠BDC=2∠DAC，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC．
（2）∵∠BAG=∠ADC+∠ACD，
∴$\frac{1}{3}$∠BAG=$\frac{1}{3}$∠ADC+$\frac{1}{3}$∠ACD，
∴∠FAG=∠FCA+$\frac{2}{3}$∠ADC且∠FAG=∠FCA+∠AFC，
∴∠AFC=80°．
（3）設(shè)∠DAC=X=∠DCA，
∴∠BDC=2X，∠BAG=180°-X，
∴∠BDE=∠FDA=$\frac{2X}{3}$，∠DAF=60°-$\frac{X}{3}$，
∴∠DFA=120°-$\frac{X}{3}$，
∴∠DFA+$\frac{1}{3}$∠DAC=120°

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，綜合利用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題．