Question

13．如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC邊上一點，將點D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E，連接CE．
（1）當(dāng)點E在BC邊上時，畫出圖形并求出∠BAD的度數(shù)；
（2）當(dāng)△CDE為等腰三角形時，求∠BAD的度數(shù)；
（3）在點D的運動過程中，求CE的最小值．
（參考數(shù)值：sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos75°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，tan75°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)點E在BC上時．只要證明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=$\frac{1}{2}$（90°-60°）=15°；
（2）分兩種情形求解①如圖2中，當(dāng)BD=DC時，易知AD=CD=DE，此時△DEC是等腰三角形．②如圖3中，當(dāng)CD=CE時，△DEC是等腰三角形；
（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先確定點E的運動軌跡是直線EE′（過點E與BC成60°角的直線上），可得EC的最小值即為線段CM的長（垂線段最短）；

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)點E在BC上時．

∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠BAD=∠CAE=$\frac{1}{2}$（90°-60°）=15°．
（2）①如圖2中，當(dāng)BD=DC時，易知AD=CD=DE，此時△DEC是等腰三角形，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°．


②如圖3中，當(dāng)CD=CE時，△DEC是等腰三角形．
∵AD=AE，
∴AC垂直平分線段DE，
∴∠ACD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴∠EDC=∠CED=45°，
∵∠B=45°，
∴∠EDC=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE=60°．

（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．

∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，
∴△AOE∽△DOE′，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{EO}{OE′}$，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{OD}{OE′}$，
∵∠AOD=∠EOE′，
∴△AOD∽△EOE′，
∴∠EE′O=∠ADO=60°，
∴點E的運動軌跡是直線EE′（過點E與BC成60°角的直線上），
∴EC的最小值即為線段CM的長（垂線段最短），
設(shè)E′N=CN=a，則AN=4-a，
在Rt△ANE′中，tan75°=$\frac{AN}{NE′}$，
∴2+$\sqrt{3}$=$\frac{4-a}{a}$，
∴a=2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴CE′=$\sqrt{2}$CN=2$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$．
在Rt△CE′M中，CM=CE′•cos30°=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴CE的最小值為$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．