Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-（x-2）（x-k）（k＞0）與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)AB=2時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接CD，過點(diǎn)O作CD的垂線，交拋物線y=-（x-2）（x-k）的對稱軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的縱坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，如圖3，點(diǎn)P為在x軸下方，且在拋物線的對稱軸右側(cè)拋物線上的一動點(diǎn)，連接AP，當(dāng)∠PAB=∠OCP時，求tan∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）令y=-（x-2）（x-k）=0，則x₁=2，x₂=k，根據(jù)k＞2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB=2可求出k的值，進(jìn)而得出函數(shù)解析式；
（2）把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式的形式可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸方程，過頂點(diǎn)D作DM⊥Oy，垂足為M，由OF⊥CD，∠FOE=∠OCD，由銳角三角函數(shù)的定義可求出EF的長，故可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由（1）知y=-x²+6x-8，A（2，0）、B（4，0），設(shè)P（m，-m²+6m-8），過點(diǎn)P作PN⊥Oy垂足為N，PG⊥Ox垂足為G，根據(jù)∠PAB=∠OCP可求出m的值，根據(jù)△PAG為等腰直角三角形可得出PH的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵令y=-（x-2）（x-k）=0，
∴x₁=2，x₂=k，
∵k＞2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（2，0），B（k，0）
∵AB=2，
∴k-2=2，
∴k=4，
∴y=-（x-2）（x-4）=-x²+6x-8，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-8．

（2）∵y=-（x-2）（x-k）=-x²+（k+2）x-2k=-（x-$\frac{k+2}{2}$）²+$\frac{（k-2）^{2}}{4}$
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{k+2}{2}$，$\frac{{（k-2）}^{2}}{4}$），
拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{k+2}{2}$．
如圖1，過頂點(diǎn)D作DM⊥Oy，垂足為M，
∵OF⊥CD，
∴∠FOE=∠OCD，
tan∠COD=$\frac{DM}{MC}$=$\frac{OE}{MC}$=$\frac{OE}{\frac{（k-2）^{2}}{4}-（-2k）}$=$\frac{OE}{（\frac{k+2}{2}）^{2}}$，
∴tan∠EOF=$\frac{EF}{OE}$，
∴$\frac{OE}{（\frac{k+2}{2}）^{2}}$=$\frac{EF}{OE}$，
∴$\frac{\frac{k+2}{2}}{{（\frac{k+2}{2}）}^{2}}$=$\frac{EF}{\frac{k+2}{2}}$，
∴EF=1，
∴F（$\frac{k+2}{2}$，-1），
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-1；

（3）由（1）知y=-x²+6x-8，A（2，0）、B（4，0），
設(shè)P（m，-m²+6m-8），如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥Oy垂足為N，PG⊥Ox垂足為G，
tan∠PAB=$\frac{PG}{DA}$=$\frac{{m}^{2}-6m+8}{m-2}$=$\frac{（m-4）（m-2）}{m-2}$=m-4，
tan∠OPC=$\frac{PN}{CN}$=$\frac{m}{-+6m-8-（-8）}$=$\frac{m}{-m+6m}$=$\frac{1}{6-m}$，
∵∠PAB=∠OCP，
∴$\frac{1}{6-m}$=m-4，即m²-10m+25=0，
∴m=5，
∴P（5，-3）
∴AG=5-2=3，
∴△PAG為等腰直角三角形．
過點(diǎn)B作BH⊥AP，則BH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，AP=3$\sqrt{2}$，
∴PH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠APB=$\frac{BH}{PH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠APB的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大，在解答此題時要注意輔助線的做法，先構(gòu)造出直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)的定義解答．