Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB為直徑作半圓O交AC于點D，點E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到△BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE為公共邊，利用SSS得到△OBE與△ODE全等，由全等三角形的對應角相等得到DE與OD垂直，即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC為AC的一半，根據(jù)BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60°，DE=EC得到△EDC為等邊三角形，可得出DC的長，由AC-CD即可求出AD的長．

解答 （1）證明：連接OD、OE、BD，如圖所示：
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OE}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
則DE為圓O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，
則AD=AC-DC=6．

點評 本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解決問題的關鍵．