Question

18．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在四邊上，EH∥BC，GF∥AB，EH與FG交于點(diǎn)O，且AE=AG，若AE比CH長(zhǎng)2，△BOF的面積為$\frac{3}{2}$
（1）求正方形ABCD的面積；
（2）設(shè)AE=a，BE=b，求代數(shù)式a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，由于EH∥BC，GF∥AB，得出四邊形AEOG是正方形，四邊形AEHD，EBFO，GOHD是矩形，根據(jù)△BOF的面積為$\frac{3}{2}$，得到矩形EBFO的面積=3，設(shè)AE=OE=DH=x，BE=CH=y，列出$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{xy=3}\end{array}\right.$，即可得到結(jié)果；
（2）由（1）求得AE=3，BE=1，代入即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∵EH∥BC，GF∥AB，
∴四邊形AEOG是正方形，四邊形AEHD，EBFO，GOHD是矩形，
∴AE=DH，BE=CH，
∵△BOF的面積為$\frac{3}{2}$，
∴矩形EBFO的面積=3，
設(shè)AE=OE=DH=x，BE=CH=y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{xy=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴AEE=3，BE=1，
∴AB=AE+BE=4，
∴正方形ABCD的面積=4×4=16；

（2）由（1）求得AE=3，BE=1，
∴a=3，b=1，
∴a⁴+b⁴=3⁴+1¹=82．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，正方形的面積，三角形的面積，充分利用已知條件列方程組求出各線段是解題的關(guān)鍵．