Question

18．如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，a）兩點(diǎn)，AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE∥x軸且與y軸交于點(diǎn)E，判斷四邊形CBED的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)、已知條件“BE∥x軸”及兩點(diǎn)間的距離公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，從而可以證明四邊形CBED是平行四邊形；然后在Rt△OED中根據(jù)勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，從而證明四邊形CBED是菱形．

解答 解：四邊形CBED是菱形．
∵雙曲線$y=\frac{k}{x}$過A（3，$\frac{20}{3}$），
∴k=20．
把B（-5，a）代入$y=\frac{20}{x}$，
得a=-4．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-5，-4）．
∵AD⊥x軸于D，
∴D（3，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將 A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，-4）代入得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=3m+n}\\{-4=-5m+n}\end{array}}\right.$
解得：$m=\frac{4}{3}，n=\frac{8}{3}$．
∴直線AB的解析式為：$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，0）．
∵BE∥x軸，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四邊形CBED是平行四邊形．
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
∴ED=CD．
∴□CBED是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題及菱形的判定的知識．解答此題時(shí)，利用了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．